数学的誘導は、真または偽のステートメントを証明するために使用される推論方法です。
あなたは高校で数学の誘導を勉強したに違いありません。ご存知のように、数学的誘導は数学的論理の拡張です。
そのアプリケーションでは、数学的論理を使用して、偽または真、同等または否定であるステートメントを研究し、結論を導き出します。
基本概念
数学的誘導は、真または偽のステートメントを証明するために使用される推論方法です。
その過程で、一般的に受け入れられている声明の妥当性に基づいて結論が導き出されるため、特定の声明も真実である可能性があります。さらに、数学的誘導の変数も、自然な数のセットのメンバーと見なされます。
基本的に、式またはステートメントが真であるか、またはその逆であるかを証明するために、数学的誘導には3つのステップがあります。
これらの手順は次のとおりです。
- ステートメントまたは式がn = 1に対して真であることを証明します。
- ステートメントまたは式がn = kに対して真であると仮定します。
- ステートメントまたは式がn = k +1に対して真であることを証明します。
上記の手順から、ステートメントはn = kおよびn = k +1に対して検証可能である必要があると想定できます。
数学的誘導の種類
数学的誘導によって解決できる数学的問題にはさまざまな種類があります。したがって、数学的誘導は、系列、除算、不等式の3つのタイプに分けることができます。
1.シリーズ
このタイプのシリーズでは、通常、数学的誘導問題は連続加算の形で見られます。
したがって、系列問題では、真理は第1項、第k項および第3項（k + 1）で証明する必要があります。
2.分割
次の文を使用するさまざまな問題で、除算数学誘導のタイプを見つけることができます。
- aはbで割り切れる
- bファクター
- bはaを分割します
- 倍数b
これらの4つの特徴は、分割タイプの数学的誘導を使用してステートメントを解決できることを示しています。
覚えておくべきことは、数値aがbで割り切れる場合、a = bmです。ここで、mは整数です。
3.不平等
不平等のタイプは、ステートメントの記号よりも大きいまたは小さい記号で示されます。
不平等の数学的誘導タイプを解決するためによく使用されるプロパティがあります。これらの特性は次のとおりです。
- a> b>c⇒a> cまたはa <b <c⇒a<c
- 0⇒AC <BC又は> b及びc> 0⇒AC> BC
- a <b⇒a+ c <b + cまたはa>b⇒a+ c> b + c
数学的誘導問題の例
以下は、数学的誘導を使用して式の証明を解く方法をよりよく理解できるようにするための問題の例です。
行
例1
n個の自然数ごとに2+ 4 + 6 +…+ 2n = n（n + 1）を証明します。
回答：
P（n）：2 + 4 + 6 +…+ 2n = n（n + 1）
n =（n）がすべてのn∈Nに対して真であることが証明されます。
最初のステップ：
n =（1）が正しいことが示されます
2 = 1（1 + 1）
したがって、P（1）は正しいです
2番目のステップ：
n =（k）が真であると仮定します。
2 + 4 + 6 +…+ 2k = k（k + 1）、k∈N
3番目のステップ
n =（k + 1）も真であることが示されます。
2 + 4 + 6 +…+ 2k + 2（k + 1）=（k + 1）（k + 1 + 1）
仮定から：
2 + 4 + 6 +…+ 2k = k（k + 1）
両側をuk + 1で追加します：
2 + 4 + 6 +…+ 2k + 2（k + 1）= k（k + 1）+ 2（k + 1）
2 + 4 + 6 +…+ 2k + 2（k + 1）=（k + 1）（k + 2）
2 + 4 + 6 +…+ 2k + 2（k + 1）=（k + 1）（k + 1 + 1）
したがって、n =（k + 1）は正しいです
例2
数学的誘導を使用して方程式を証明する
SN = 1 + 3 + 5 +7 + ... +（2N-1）= N2全て整数のN ≥1。
回答：
最初のステップ：n =（1）が正しいことが示されます
S1 = 1 = 12
第二段階
n =（k）が真であると仮定します。
1 + 3 + 5 +7 + ... + 2（k）-1 = k2
1 + 3 + 5 +7 + ... +（2k-1）= k 2
3番目のステップ
n =（k + 1）が真であることを証明する
1 + 3 + 5 +7 + ... +（2k-1）+ [2（k + 1）-1] =（k + 1）2
1 + 3 + 5 +7 + ... +（2k-1）= k2であることを忘れないでください
その後
k2 + [2（k + 1）-1] =（k + 1）2
k2 + 2k + 1 =（k + 1）2
（k + 1）2 =（k + 1）2
次に、上記の式が証明されます
例3
n個の自然数ごとに1+ 3 + 5 +…+（2n --1）= n2が真であることを証明します
回答：
最初のステップ：
n =（1）が正しいことが示されます
1 = 12
したがって、P（1）は正しいです
2番目のステップ：
n =（k）が真であると仮定します。
1 + 3 + 5 +…+（2k-1）= k2、k∈N。
3番目のステップ：
n =（k + 1）も真であることが示されます。
1 + 3 + 5 +…+（2k-1）+（2（k + 1）-1）=（k + 1）2
仮定から：1 + 3 + 5 + ... +（2k-1）= k2
両側をuk + 1で追加します：
1 + 3 + 5 + ... +（2k-1）+（2（k + 1）-1）= k2 +（2（k + 1）-1）
1 + 3 + 5 + ... +（2k-1）+（2（k + 1）-1）= k2 + 2k +1
1 + 3 + 5 + ... +（2k-1）+（2（k + 1）-1）=（k + 1）2
したがって、n =（k + 1）も真です
分割
例4
n個の自然数ごとにn3 + 2nが3で割り切れることを証明する
回答：
最初のステップ：
n =（1）が正しいことが示されます
13 + 2.1 = 3 = 3.1
したがって、n =（1）は正しいです
また読む：共産主義思想の理解と特徴+例2番目のステップ：
n =（k）が真であると仮定します。
k3 + 2k = 3m、k∈NN
3番目のステップ：
n =（k + 1）も真であることが示されます。
（k + 1）3 + 2（k + 1）= 3p、p∈ZZ
（k + 1）3 + 2（k + 1）=（k3 + 3k2 + 3k + 1）+（2k + 2）
（k + 1）3 + 2（k + 1）=（k3 + 2k）+（3k2 + 3k + 3）
（k + 1）3 + 2（k + 1）= 3m + 3（k2 + k + 1）
（k + 1）3 + 2（k + 1）= 3（m + k2 + k + 1）
mは整数であり、kは自然数であるため、（m + k2 + k + 1）は整数です。
p =（m + k2 + k + 1）とすると、
（k + 1）3 + 2（k + 1）= 3p、ここでp∈ZZ
したがって、n =（k + 1）は正しいです
不平等
例5
すべての自然数に対してn≥2が有効であることを証明する
3n> 1 + 2n
回答：
最初のステップ：
n =（2）が正しいことが示されます
32 = 9> 1 + 2.2 = 5
したがって、P（1）は正しいです
2番目のステップ：
n =（k）が真であると仮定します。
3k> 1 + 2k、k≥2
3番目のステップ：
n =（k + 1）も真であることが示されます。
3k + 1> 1 + 2（k + 1）
3k + 1 = 3（3k）3k + 1> 3（1 + 2k）（3k> 1 + 2kのため）
3k + 1 = 3 + 6k
3k + 1> 3 + 2k（6k> 2kのため）
3k + 1 = 1 + 2k + 2
3k + 1 = 1 + 2（k + 1）
したがって、n =（k + 1）も真です
例6
すべての自然数に対してn≥4が有効であることを証明する
（n + 1）！> 3n
回答：
最初のステップ：
n =（4）が正しいことが示されます
（4 + 1）！> 34
左側：5！= 5.4.3.2.1 = 120
右側：34 = 81
したがって、n =（4）は正しいです
2番目のステップ：
n =（k）が真であると仮定します。
（k + 1）！> 3k、k≥4
3番目のステップ：
n =（k + 1）も真であることが示されます。
（k + 1 + 1）！> 3k + 1
（k + 1 + 1）！=（k + 2）！（k + 1 + 1）！=（k + 2）（k + 1）！
（k + 1 + 1）！>（k + 2）（3k）（（k + 1）！> 3k）
（k + 1 + 1）！> 3（3k）（k + 2> 3のため）
（k + 1 + 1）！= 3k + 1
したがって、n =（k + 1）も真です
